Così la matematica considera la grandezza

La teoria della misura è una branca della matematica che si occupa del concetto di 'grandezza' di un insieme. Se si vuole valutare per esempio la grandezza di alcuni insiemi come un cesto di mele o una scatola di chiodi, la cosa più intuitiva da fare è contare gli elementi contenuti in essi. In questo modo vengono associati dei numeri agli insiemi, che permettono di confrontare questi ultimi tra di loro.

Questa corrispondenza insieme-numero è un esempio molto semplice di ciò che in matematica si intende per misura. Se il cesto contiene cinque mele si può dire che la sua misura è 5; analogamente, se la scatola contiene cento chiodi si dirà che la sua misura è 100 e che, quindi, la scatola è 'più grande' del cesto. Anche le figure geometriche vengono definite insiemi, in particolare sono definite insiemi di punti del piano. Si possono confrontare anche queste misure, basta misurarle, spiega il matematico Andrea Tosin, del Politecnico di Torino.

''In questo caso - prosegue - la misura migliore che la geometria ci fornisce è l’area. Calcolare l’area di una figura equivale a mettere in corrispondenza un insieme con un numero, esattamente nello spirito della teoria della misura''. La stessa cosa accade con le lunghezze di segmenti e linee e il volume di solidi tridimensionali: ''in matematica – aggiunge Tosin - una misura è semplicemente una funzione che a certi insiemi associa dei numeri. L'unica proprietà che si richiede ad una simile funzione è che se alcuni insiemi non hanno parti in comune la loro misura totale sia la somma delle misure di ciascuno di essi''.

Esistono vari tipi di misure, ciascuna adatta per particolari tipi di insiemi. La conta degli elementi di una collezione, la lunghezza di un segmento, l'area di una figura piana, il volume di un solido non sono che alcune di esse, ma si possono considerare anche misure meno ''intuitive'' e tuttavia utilissime, come il calcolo delle probabilità. La teoria della misura della misura comprende, infatti, come caso particolare, anche la teoria della probabilità. ''La probabilità che, lanciando una moneta non truccata, esca testa si può pensare in percentuale - conclude Tosin - come la conta del numero di volte che esce testa in una serie, idealmente infinita, di lanci consecutivi''.